Закон больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Барометрическая формула

Распределение больцмана

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, напротив - молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так какmgh - ϶ᴛᴏ потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

15 Пове́рхностное натяже́ние - термодинамическая характеристика поверхности раздела двух находящихся в равновесии фаз, определяемая работой обратимого изотермокинетического образования единицы площади этой поверхности раздела при условии, что температура, объём системы и химические потенциалы всех компонентов в обеих фазах остаются постоянными.

Поверхностное натяжение имеет двойной физический смысл - энергетический (термодинамический) и силовой (механический). Энергетическое (термодинамическое) определение: поверхностное натяжение - это удельная работа увеличения поверхности при её растяжении при условии постоянства температуры. Силовое (механическое) определение: поверхностное натяжение - это сила, действующая на единицу длины линии, которая ограничивает поверхность жидкости

Формула Лапласа[править | править вики-текст]

Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Этим объясняется существование мыльных пузырей: плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки. Добавочное давление в точке поверхности зависит от средней кривизны в этой точке и задаётся формулой Лапласа :

Здесь - радиусы главных кривизн в точке. Οʜᴎ имеют одинаковый знак, в случае если соответствующие центры кривизны лежат по одну сторону от касательной плоскостив точке, и разный знак - если по разную сторону. К примеру, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, в связи с этим

Важно заметить, что для случая поверхности кругового цилиндра радиуса имеем

Капиллярными явлениями называют подъем или опускание жидкости в трубках малого диаметра – капиллярах . Смачивающие жидкости поднимаются по капиллярам, несмачивающие – опускаются.

Капилля́рность (от лат. capillaris - волосяной ; отсюда происходит встречавшийся ранее в русскоязычной научной литературе термин воло́сность ), капиллярный эффект - физическое явление, заключающееся в способности жидкостей изменять уровень в трубках, узких каналах произвольной формы, пористых телах. В поле тяжести (или сил инерции, к примеру при центрифугировании пористых образцов) поднятие жидкости происходит в случаях смачивания каналов жидкостями, к примеру воды в стеклянных трубках, песке, грунте и т. п. Понижение жидкости происходит в трубках и каналах, не смачиваемых жидкостью, к примеру ртуть в стеклянной трубке.

Когезия (от лат. cohaesus - связанный, сцепленный), сцепление молекул (ионов) физического тела под действием сил притяжения.

сцепление частей одного и того же однородного тела (жидкого или твердого). Обусловлена хим. связью между составляющими тело частицами (атомами, ионами) и межмол. взаимодействием. Работой когезии наз. свободную энергию разделения тела на части и удаления их на такое расстояние, когда нарушается целостность тела.

Адгезия (от лат. adhaesio - прилипание) в физике - сцепление поверхностей разнородных твёрдых и/или жидких тел. Адгезия обусловлена межмолекулярным взаимодействием (Ван-дер-Ваальсовыми, полярным, иногда - образованием химических связей или взаимной диффузией) в поверхностном слое и характеризуется удельной работой, крайне важно й для разделения поверхностей. В некоторых случаях адгезия может оказаться сильнее, чем когезия, то есть сцепление внутри однородного материала, в таких случаях при приложении разрывающего усилия происходит когезионный разрыв, то есть разрыв в объёме менее прочного из соприкасающихся материалов.

Распределение больцмана - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Распределение больцмана" 2017, 2018.

- Распределение Больцмана для частиц во внешнем силовом поле

Молекулы идеального газа, свободные от внешних воздействий, вследствие теплового движения равномерно распределяются по всему занимаемому объему. Во внешнем поле на молекулы действует сила, и распределение частиц по объему становится неоднородным. Закон изменения... .

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объемом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул. Для вывода... .

- Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Учебно-материальная база УКП. Учебно-материальная база УМЦ ГОЧС. Структура УМБ ГО и РСЧС. Состав учебно-материальной базы для обучения различных групп населения в области безопасности... .

- Распределение молекул в силовом поле (распределение Больцмана). Барометрическая формула.

Барометрическая формула. – распределение Больцмана частиц во внешнем силовом поле. z – высота над поверхностью земли. – концентрация молекул в тех точках, где потенциальная энергия равна нулю. п0 – концентрация молекул у поверхности земли. – зависимость... [читать подробнее] .

- Распределение больцмана

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа: (2.5.1) где n0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h. Так как... .

- Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

До сих пор мы не учитывали существование внешнего силового поля (например, гравитационного). В отсутствии поля молекулы газа равномерно распределяются по всему объему, т.е. плотность газа в объеме постоянна. Если действует силовое поле, то плотность частиц и давление газа... .

Распределение молекул газа по потенциальной энергии (распределение Больцмана)

Идеальный газ во внешнем силовом поле

В идеальных газах молекулы рассматриваются невзаимодействующими друг с другом посредством межмолекулярных силовых полей, и их потенциальная энергия не фигурирует в газовых законах. Однако во внешних силовых полях эта ситуация меняется - молекулы приобретают потенциальную энергию из-за действия на них внешних сил. Эта потенциальная энергия учитывается в законах термодинамики.

При отсутствии внешних воздействий из-за хаотического теплового движения газ равномерно заполняет предоставленный ему объем. Однако при внешних воздействиях картина меняется, и потенциальная энергия влияет на распределение молекул газа в пространстве заключающего газ объема.

Найдем распределение молекул идеального газа в однородном, консервативном, одномерном внешнем силовом поле (например, поле силы тяжести вблизи поверхности Земли). Ориентируем выделенную ось Z вдоль направления силового воздействия (вертикально вверх, в нашем примере) и будем искать распределение концентрации (и давления) молекул вдоль этого направления.

Выделим в газе две параллельные плоскости (пластины) площадью S каждая, ориентированные перпендикулярно оси Z с дифференциально-малым расстоянием-промежутком d.z между ними (рис. 4.4). Из-за действия на молекулы силы F (вес в гравитационном поле) давление на нижнюю пластину будет больше, чем на верхнюю. Разница давлений dp равна действующим на пластины силам со стороны всех молекул в объеме dV= отнесенным к их площади S:

где F(z) - сила, действующая со стороны силового поля, на одну молекулу, находящуюся на уровне z n(z) - концентрация молекул на уровне Z-

Согласно заданным условиям сила является консервативной; это значит, что силовое поле - потенциальное. Поэтому можно воспользоваться связью между силой F(z) и потенциальной энергией U(z)

в форме (соотношение (1.33) в подразделе 1.3.5). Теперь можем записать

Рис. 4.4.

Так как газ идеальный, его давление связано с концентрацией уравнением (4.25), а температура предполагается одинаковой в каждой точке, поэтому

Заменяя в (4.32) изменение давления на (4.33), получаем k^Tdn = = -ndU. Разделяя переменные, получим . Интегрирование

дает Это уравнение может быть переписано в виде

И далее Предполагая, что на уровне, принятом за нуль отсчета (z = 0) концентрация равна и 0 , получим С = п 0 . Поэтому окончательно

Полученное соотношение связывает между собой концентрацию молекул идеального газа n(z) и его давление p{z) с потенциальной энергией молекул U(z) в силовом поле с температурой Т. Это соотношение называется распределением Больцмана (или законом Больцмана). График закона Больцмана приведен для относительных концентраций n(z)/n 0 на рис. 4.5. Из него видно, что высокая концентрация молекул соответствует значениям координат z, где потенциальная энергия U(z) мала. С повышением потенциальной энергии концентрация молекул падает. При U(z ) = кьТ концентрация молекул в е раз меньше, чем на уровне, где U(z) = 0.

Рис. 4.5. Зависимость относительной концентрации частиц, находящихся в силовом поле, от величины потенциальной энергии U(z)

На рисунке 4.5 представлена совокупность кривых, соответствующих разным температурам газа. При возрастании температуры энергия хаотического движения молекул увеличивается и влияние температуры на концентрацию снижается. Поэтому при высокой температуре концентрация молекул выравнивается, газ равномерно заполняет весь объем. Наоборот, снижение температуры приводит к резкой зависимостью концентрации от потенциальной энергии. Влияние силового поля проявляется более резко.

Так как концентрация и давление пропорциональны друг другу для давления справедливо то, что говорилось ранее о концентрации. В частности, с учетом (4.25) формула (4.34) может быть переписана в виде:

в которой р 0 и p(z) есть давление в точках, где потенциальная энергия равна нулю и U(z), соответственно.

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p - давление газа в слое, расположенном на высоте h , p 0 - давление на нулевом уровне (h = h 0), M - молярная масса газа, R - газовая постоянная, T - абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где M - молярная масса газа, R - газовая постоянная.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT . Чем выше температура T , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

(2.5.3)

– это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n 0 – число молекул в единице объёма там, где U = 0.

1. 4. Барометрическая формула.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул, с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул газа и его давление с высотой убывают. Выведем закон изменения давления газа с высотой, предполагая при этом, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте hравнор, то на высотеh+dhоно равно р +dp(рис.1.2). Приdh> 0,dр < 0, т.к. давление с высотой убывает. Разность давлений р и (р +dр) равна гидростатическому давлению столба газа авсd, заключенного в объеме цилиндра высотойdhи площадью с основанием равным единице. Это з апишется в следующем виде:p- (p+dp) =gρdh, -dp=gρdhилиdp= ‑gρdh, гдеρ– плотность газа на высотеh. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа рV=mRT/Mи выразим плотностьρ=m/V=pM/RT. Подставим это выражение в формулу дляdр:

dp= -pMgdh/RTилиdp/p= -Mgdh/RT

Интегрирование данного уравнения дает следующий результат: Здесь С – константа и в данном случае удобно обозначить постоянную интегрирования черезlnC. Потенцируя полученное выражение, находим, что

При условии h=0 получим, что С=р 0 , где р 0 -давление на высотеh=0.

Д анное выражение называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты, или высоту, если известно давление.

Зависимость давления от высоты демонстрирует рисунок 1.3. Прибор для определения высоты над уровнем моря называется высотомером или альтиметром. Он представляет собой барометр, проградуированный в значениях высоты.

1. 5. Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле. @

Если воспользоваться выражением р = nkT, то можно привести барометрическую формулу к виду:

з десьn– концентрация молекул на высотеh,n 0 – то же у поверхности Земли. Так как М =m 0 N A , гдеm 0 – масса одной молекулы, аR=kN A , то мы получим П =m 0 gh– это потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения. ПосколькуkT~‹ε пост ›, то концентрация молекул на определенной высоте зависит от соотношения П и ‹ε пост ›

Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

1. 6. Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. @

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы меняется со временем по модулю и по направлению. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления являются равновероятными, а средняя квадратичная скорость остается постоянной. Мы можем записать

П остоянство ‹υ кв › объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д.К.Максвеллом. Он рассчитал функциюf(u), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равныеdu, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекулdN(u), имеющих скорость, заключенную в этом интервале (Рис.1.4.).

Функция f(v) определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале отu до u+ du. Это число - dN(u)/N= f(u)du.Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид для функции f(u)

Д анное выражение - это закон о распределении молекул идеального газа по скоростям.Конкретный вид функции зависит от рода газа, массы его молекул и температуры (рис.1.5). Функция f(u)=0 при u=0 и достигает максимума при некотором значении u в, а затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно максимума. Относительное число молекул dN(u)/N, скорости которых лежат в интервале du и равное f(u)du, находится как площадь заштрихованной полоски основанием dv и высотой f(u), показанной на рис.1.4. Вся площадь, ограниченная кривой f(u) и осью абсцисс равна единице, потому что, если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные значения скорости, то получается единица. Как показано на рис.1.5, с ростом температуры кривая распределения смещается вправо, т.е. растет число быстрых молекул, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. N = const.

Скорость u в, при которой функция f(u) достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Из условия равенства нулю первой производной функцииf(v) ′ = 0 следует, что

Н а рисунке 1.4. отмечена еще одна характеристика – средняя арифметическая скорость молекулы. Она определяется по формуле:

Опыт, проведенный немецким физиком О.Штерном, экспериментально подтвердил справедливость распределения Максвелла (рисунок 1.5.). Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилиндров. Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью проходит платиновая проволока, покрытая слоем серебра. Если пропустить по проволоке ток,она нагревается и серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если прибор будет вращаться, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние. Исследование количество осадка позволяет оценить распределение молекул по скоростям. Оказалось, что распределение соответствует максвелловскому.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

т 0 m o v - (- m o v ) = 2m o v .

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой v Dt. Число этих молекул равно п DS v Dt(n - число молекул в единице объема). Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент "времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6 п DS vDt.. m o v 1/6 п DS vDt = 1/3 п m o v 2 DSDt

р = F/DS=P/(DSDt)=1/3 п m o v 2 (1),

(так как F=dP/dt).

Если газ в объеме V содержит N

(2)

р = 1/3 п m o v кв 2 (3)

Учитывая, что п = N/V, получим рV = 1/3 N m o v кв 2

или рV = 2/3 N (m o v кв 2 /2)= 2/3 E (4),

гдеЕ - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Выражение (4) (т.е. рV = 2/3E ) или эквивалентное ему (3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов . Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

p = n kT, а с другой р = 1/3 п m o v

(5),

так как молярная масса m = m 0 N A , где т 0 - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро, к = R/N A

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа, используя, что p = n kT, и р = 1/3 п m o v кв 2 , равна

e = m o v кв 2 /2 =3/2kT

Т.е. она пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа .

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р , то на высоте h + dh оно равно р + dp (при dh> Оdp < 0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh

р - (р + dp) = ρgdh,

h . Следовательно,

dp =- ρgdh. (1)

pV = m/mRT ,где m -масса газа, m -

r= m/V = pm/(RT).

Подставив в (1), получим

или

h, а давление на h p o .

(2),

так как m = m 0 N A , и R = kN A , где т o - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро.

Выражение (2) называется барометрической формулой . Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты (или, измерив давление, найти высоту). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (2) можно преобразовать, если воспользоваться выражением р = пкТ:

(3)

Здесь n h , а n o - концентрация частиц на высоте h =0.

Из формулы (3) следует, что с понижением температуры число молекул на определенной высоте h убывает. При T =0 все молекулы оказались бы на поверхности земли. Сила тяжести стремиться опустить молекулу на землю, а тепловое движение разбрасывает их по высотам, поэтому распределение молекул в атмосфере с высотой определяется балансом этих тенденций.

Если учесть, что m o gh = П

(4)

Выражение (4) называется распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (4) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где - давление газа в слое, расположенном на высоте , - давление на нулевом уровне (), - молярная масса газа, - универсальная газовая постоянная, - абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где - масса молекулы газа, - постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Статистика Максвелла - Больцмана). При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной . Чем выше температура , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести может изменяться за счёт двух величин: ускорения и массы частиц .

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования - метода определения разности высот между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению ( и ). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде: (в м), где - средняя температура слоя воздуха между точками измерения, - температурный коэффициент объёмного расширения воздуха. Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1-0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.

В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты в соответствии с законом распределения Больцмана:

n = n0exp(-mgh / kT)

где n - концентрация молекул на высоте h, n0 - концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m - масса частиц, g - ускорение свободного падения, k - постоянная Больцмана, T - температура.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объёмом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул.

Для вывода уравнения рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически с одной и той же скоростью v, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис. 1) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула массой т 0 передает стенке сосуда импульс m o v - (- m o v ) = 2m o v .

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объёме цилиндра с основанием DS и высотой v Dt. Число этих молекул равно п DS v Dt(n - число молекул в единице объёма). Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент "времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6 п DS vDt.. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс P=2m o v 1/6 п DS vDt = 1/3 п m o v 2 DSDt

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

р = F/DS=P/(DSDt)=1/3 п m o v 2 (1),

(так как F=dP/dt).

В случае если газ в объёме V содержит N молекул, движущихся с разными скоростями, то можно рассматривать среднюю квадратичную скорость, характеризующую всю совокупность молекул газа.

(2)

Уравнение (1) с учетом (2) примет вид

р = 1/3 п m o v кв 2 (3)

Учитывая, что п = N/V, получим рV = 1/3 N m o v кв 2

или рV = 2/3 N (m o v кв 2 /2)= 2/3 E (4),

гдеЕ - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Выражение (4) (ᴛ.ᴇ. рV = 2/3E ) или эквивалентное ему (3) принято называть основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов . Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

Учитывая, что с одной стороны p = n kT, а с другой р = 1/3 п m o v кв 2 , получим выражение для средней квадратичной скорости

(5),

так как молярная масса m = m 0 N A , где т 0 - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро, к = R/N A . Отсюда легко найти, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с.

e = m o v кв 2 /2 =3/2kT

Т.е. она пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа .

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловскогораспределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, в связи с этим молекулы равномерно распределены по объёму. При этом молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. В случае если атмосферное давление на высоте h равно р , то на высоте h + dh оно равно р + dp (при dh> Оdp < 0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объёме цилиндра высотой dh с основанием площадью, равной единице площади:

р - (р + dp) = ρgdh,

где ρ - плотность газа на высоте h . Следовательно,

dp =- ρgdh. (1)

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV = m/mRT ,где m -масса газа, m - молярная масса газа), находим, что плотность газа равна

r= m/V = pm/(RT).

Подставив в (1), получим

или

Проинтегрируем это уравнение с учетом того, что р - давление на высоте h, а давление на h =0 (на поверхности земли) равноp o .

(2),

так как m = m 0 N A , и R = kN A , где т o - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро.

Выражение (2) принято называть барометрической формулой . Она позволяет найти атмосферное давление исходя из высоты (или, измерив давление, найти высоту). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (2) можно преобразовать, в случае если воспользоваться выражением р = пкТ:

(3)

Здесь n - концентрация частиц на высоте h , а n o - концентрация частиц на высоте h =0.

Из формулы (3) следует, что с понижением температуры число молекул на определенной высоте h убывает. При T =0 все молекулы оказались бы на поверхности земли. Сила тяжести стремиться опустить молекулу на землю, а тепловое движение разбрасывает их по высотам, в связи с этим распределение молекул в атмосфере с высотой определяется балансом этих тенденций.

В случае если учесть, что m o gh = П - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения то формулу можно переписать.

(4)

Выражение (4) принято называть распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле . Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

В случае если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (4) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Барометрическая формула зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково барометрическая формула имеет следующий вид: где p давление газа в слое расположенном на высоте h p0 давление на нулевом уровне h = h0 M молярная масса газа R газовая постоянная T абсолютная температура. Из барометрической формулы следует что концентрация молекул n или...

45.Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле.

Барометрическая формула зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа , имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p давление газа в слое, расположенном на высоте h , p 0 давление на нулевом уровне (h = h 0 ), M молярная масса газа, R газовая постоянная , T абсолютная температура . Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где M молярная масса газа, R газовая постоянная.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

(2.5.1)

где n 0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h .

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

(2.5.2)

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

(2.5.3)

это закон распределения частиц по потенциальным энергиям распределение Больцмана. Здесь n 0 число молекул в единице объёма там, где U = 0.

На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Рис. 2.11

Из (2.5.3) можно получить, что отношение концентраций молекул в точках с U 1 и i>U 2 равно:

(2.5.4)

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
42675.		Изучение конструкции и поверки измерительного преобразователя давления типа "Сапфир – 22ДИ"	35.5 KB
	Березники 2003 Цель работы ознакомиться с принципом действия и конструкцией измерительного преобразователя типа Сапфир22ДИ; выполнить проверку измерительного преобразователя типа Сапфир22ДИ; приобрести навыки в определении давления при помощи измерительных преобразователей типа Сапфир. Стенды предназначены для проведения лабораторных работ по поверке автоматического миллиамперметра КСУ2 в комплекте с преобразователем давления Сапфир22ДИ. На втором стенде установлены автоматический миллиамперметр КСУ2 клеммы Миллиамперметр...
42676.		Изучение конструкции и поверки вторичного прибора РП160	40.5 KB
	Цель работы ознакомление с работой измерительной системы измерения температуры в комплекте пирометр сопротивления заменён магазином сопротивления нормирующий преобразователь НПСЛ вторичный прибор РП160. Порядок проведения работы: Ознакомились со схемой подключения магазина сопротивления нормирующего преобразователя вторичного прибора; Установили магазином сопротивления сопротивление 4171 атм. соответствующее температуре 50С значение температуры считали по шкале прибора РП160; Рассчитали значение...
42677.		Изучение и исследование термоэлектрического метода измерения температур	96 KB
	При этом студенты овладевают методикой поверки автоматического потенциометра КСП4 в комплекте с образцовым потенциометром УПИП60М градуировки шкалы. магазин сопротивлений R4 R10 и клеммы для подключения образцового потенциометра УПИП60М. Поверка автоматического потенциометра КСП4. Для поверки градуировки шкалы автоматического потенциометра КСП4 собирают схему по рисунку.
42678.		Изучение работы жидкостного U – образного манометра и комплекта приборов для измерения давления пневматической ветви ГСП	403.5 KB
	Березники 2007 Цель работы в процессе выполнения лабораторной работы студенты закрепляют знания по разделу Измерение давления и Дистанционная передача сигнала измерительной информации теоретического курса Технические измерения и приборы. Студенты знакомятся с принципом действия устройством преобразователя измерительного разности давления пневматического 13ДД11 в комплекте с вторичным прибором РПВ4. Стенд предназначен для выполнения лабораторной работы по изучению работы измерительного преобразователя разности давления...
42680.			278 KB
	Ознакомиться c основными процедурами, предшествующим установлению ресурса ВС; методами схематизации процессов нагружения. Оформить отчет №1 по лабораторной работе в виде рукописного конспекта, с необходимыми иллюстрациями. В отчете дайте развернутые ответы на все вопросы, которые приведены ниже.
42681.		Исследование процесса испытания конструкционных материалов при случайном режиме нагружения	40 KB
	Ознакомиться c гипотезами накопления повреждений; Стандартизированными спектрами нагружения используемых при изучении усталостных характеристик летательных аппаратов. ВОПРОСЫ В чем заключается смысл концепции линейного накопления повреждений при усталости Основные недостатки линейной гипотезы накопления повреждений В чем заключается смысл модифицированных гипотез...
42682.		Автоматические системы контроля технического состояния самолета. Деформационный рельеф плакированных сплавов как показатель истории нагруженности	1.63 MB
	Ознакомиться с проблемами концентрации напряжения и коэффициентами которые определяют ее; принципами построения автоматизированной системой контроля технического состояния самолета; деформационным рельефом который является показателем поврежденности конструкции самолета. На распечатанном рисунке самолета А380 формат А2 нанести примеры применения систем контроля целостности конструкции. ВОПРОСЫ В чем...
42683.		Основные приемы работы в СУБД Microsoft Access	292 KB
	Основные приемы работы в СУБД Microsoft ccess Приложение ccess является программой входящий в пакет Microsoft Office и предназначено для работы с базами данных. База данных. В общем смысле термин база данных можно применить к любой совокупности связанной информации объединенной вместе по определенному признаку организованных по определенным правилам предусматривающим общие принципы описании хранения и манипулирования данными которые относятся к определенной предметной области. Система управления базами данных СУБД прикладное...

Категории

Выбор редакции

Закон больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Барометрическая формула

Распределение молекул газа по потенциальной энергии (распределение Больцмана)

Идеальный газ во внешнем силовом поле

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

Поиск

Подписка

Популярные записи

Последние записи